KONSEPSI TRANSFORMASI LINIER

Pada banyak bidang matematika, seringkali diinginkan untuk menghubungkan anggota dari suatu himpunan dengan anggota pada himpunan lainnya, Suatu fungsi yang memetakan suatu vektor di ruang vektor A ke  ruang vektor B ( dinotasikan dengan  T : V  à   W ) disebut sebagai transformasi linear bila untuk setiap u , v ∈ V berlaku : 

1. T ( u + v ) = T ( u )  + T ( v )

2. T ( k u )    = k T ( u )  , dengan k skalar.

1.      Misalkan  F : R2 → R3  adalah fungsi yang didefinisikan oleh :

Jika u = ( x1 , y1 ) dan v = ( x2 , y2 ), maka u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 ), sehingga  :

F(u + v) = (x1 +x2 , [x1 + x2] + [y1 + y2], [x1 + x2] - [y1 + y2])

              = ( x1 , x1 + y1 , x1 - y1 ) + ( x2 , x2 + y2 ,x2 - y2)

F(u + v) = F(u) + F(v)

Juga , jika k adalah sebuah skalar , k u = (kx1 , ky1 ), sehingga :

F(k u)  = (kx1 , kx1 +ky1 , kx1 - ky1)

=  k (x1 , x1 +y1 ,x1 - y1)

=  k  F(u)

Jadi F adalah sebuah transformasi linear.

2.      Misalkan A adalah sebuah matriks m x n yang tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor  di  dalam   Rm  dan  Rn  ,  maka  kita  dapat mendefinisikan sebuah fungsi  T: Rn →  Rm dengan  T(x) = A x. Perhatikan jika bahwa x adalah sebuah matriks  n x 1 ,

Maka hasil kali  A x  adalah  matriks  m x 1

Jadi T memetakan  Rn ke dakam Rm . Lagi pula , T linear, untuk melihat ini , misalnya u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan  k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalaian matriks, maka kita mendapatkan :

A (u + v) = A u + A v    dan    A (k u) = k (A u)

Atau secara ekivalen :

T(u + v) = T(u) + T(v)     dan    T(k u) = k T(u) 

Kita akan menamakan transformasi linear di dalam contoh ini perkalian oleh A.  Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.     

3.      Misalkan  V dan W  adalah sebarang dua vektor.  Pemetaan  T : V → W sehingga

T(v) = 0 untuk tiap-tiap  v  di dalam V adalah sebuah transformasi linear yang dinamakan transformasi nol. Untuk melihat bahwa  T  linear, perhatikanlah bahwa :

T(u + v) = 0 ,  T(u) = 0 ,  T(v) = 0   dan   T(k u) = 0

Maka

T(u + v) =  T(u)  +  T(v)     dan     T(k u) =  k  T(u)

4.      Misalkan  V  adalah sebuah ruang perkalian dalam dan misalkan  v0  adalah sebarang vektor tetap di dalam  V.  Misalkan  T : V → R  adalah transformasi yang memetakan sebuah vektor  v ke dalam perkalian dalamnya dengan v0 ; yakni :   

T(v)  =  < v , v0 >

Dari sifat-sifat perkalian dalam , maka :

T( u + v ) =  < u + v, v0 > =  < u, v0 > + < v, v0 > =  T(u) + T(v)                   

Dan

T(k u)  =  < k u, v0 >  =  k  < u, v0 >  =  k  T(u)   

     

Sehingga  T  adalah transformasi linear.

5.      Misalkan  V  adalah sebuah ruang perkalian dalam, dan misalkan  W  adalah sebuah sub-ruang dari  V yang berdiameter  berhingga yang mempunyai  :

S = {w1,w2,…,wr}  adalah sebuah basis ortonormal.